একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ - কষে দেখি 1.1

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

কষে দেখি 1.1

1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।

(i) \(x^2-7x+2\)
সমাধানঃ বহুপদী সংখ্যামালাটির \(x\) চলরাশির সর্বোচ্চ ঘাত 2 তাই ইহা একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
(ii) \(7x^5-x(x+2)\)
সমাধানঃ \(7x^5-x(x+2) = 7x^5-x^2-2x\) বহুপদী সংখ্যামালাটির \(x\) চলরাশির সর্বোচ্চ ঘাত 5 তাই ইহা একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(iii) \(2x(x+5)+1\)
সমাধানঃ \(2x(x+5)+1= 2x^2+10x+1\) বহুপদী সংখ্যামালাটির \(x\) চলরাশির সর্বোচ্চ ঘাত 2 তাই ইহা একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
(iv) \(2x-1\)
সমাধানঃ বহুপদী সংখ্যামালাটির \(x\) চলরাশির সর্বোচ্চ ঘাত 1 তাই ইহা একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।

2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি \(ax^2+bx+c=0\), যেখানে \(a, b, c\) বাস্তব সংখ্যা এবং \(a \ne 0\), আকারে লেখা যায় তা লিখি।

(i) \(x-1+\frac{1}{x}=6, (x\ne 0)\)
সমাধান:
\(x-1+\frac{1}{x}=6\)

বা, \(\frac{x^2-x+1}{x}=6\)

বা, \(x^2-x+1=6x\)

বা, \(x^2-x+1-6x=0\)

বা, \(x^2-7x+1=0\)
∴ এই সমীকরণটিকে \(ax^2+bx+c=0\) (যেখানে \(a, b, c\) বাস্তব সংখ্যা এবং \(a\ne 0\)) আকারে লেখা যায়।
(ii) \(x+\frac{3}{x}=x^2, (x\ne 0)\)
সমাধানঃ
\(x+\frac{3}{x}=x^2\)

বা, \(\frac{x^2+3}{x}=x^2\)

বা, \(x^2+3=x^3\)

বা, \(x^3-x^2-3=0\)
∴ এই সমীকরণটিকে \(ax^2+bx+c=0\) (যেখানে \(a, b, c\) বাস্তব সংখ্যা এবং \(a\ne 0\)) আকারে লেখা যাবে না।
(iii) \(x^2-6\sqrt{x}+2=0\)
সমাধানঃ
\(x^2-6\sqrt{x}+2=0\)
এই সমীকরণে চলরাশির ঘাত অখন্ড সংখ্যা নয় (কারণ \(\sqrt{x} = x^{1/2}\)) ∴ এই সমীকরণটিকে \(ax^2+bx+c=0\) (যেখানে \(a, b, c\) বাস্তব সংখ্যা এবং \(a\ne 0\)) আকারে লেখা যাবে না।
(iv) \((x-2)^2=x^2-4x+4\)
সমাধানঃ
\((x-2)^2=x^2-4x+4\)

বা, \(x^2-4x+4=x^2-4x+4\)
ইহা একটি অভেদ। তাই ইহাকে \(ax^2+bx+c=0\) (যেখানে \(a, b, c\) বাস্তব সংখ্যা এবং \(a\ne 0\)) আকারে লেখা যাবে না।

3. \(x^6-x^3-2=0\) সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

\(x^6-x^3-2=0\)

বা, \((x^3)^2-x^3-2=0\)

এই সমীকরণটি \(x^3\) এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। অর্থাৎ, সমীকরণটি \(x\) চলের ঘাত **3** এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

4. বিভিন্ন সমস্যার সমাধান

(i) \((a-2)x^2+3x+5=0\) সমীকরণটি \(a\)-এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ একটি সমীকরণ দ্বিঘাত হবে না যদি \(x^2\) এর সহগ 0 হয়।
অর্থাৎ, \(a-2=0\)

বা, \(a=2\)
\(a=2\) হলে \((a-2)x^2+3x+5=0\) সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।
(ii) \(\frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x}, (x\ne 0, x\ne 4)\) কে \(ax^2+bx+c=0, (a\ne 0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে \(x\)-এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(\frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x}\)

বা, \(3x^2=1(4-x)\)

বা, \(3x^2=4-x\)

বা, \(3x^2+x-4=0\)
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে \(x\)-এর সহগ হবে **1**।
(iii) \(3x^2+7x+23=(x+4)(x+3)+2\) কে \(ax^2+bx+c=0, (a\ne 0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি।
সমাধানঃ
\(3x^2+7x+23=(x+4)(x+3)+2\)

বা, \(3x^2+7x+23=x^2+4x+3x+12+2\)

বা, \(3x^2+7x+23-x^2-7x-14=0\)

বা, \(2x^2+9=0\)
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে দ্বিঘাত সমীকরণে আকারে প্রকাশ করলে হবে **\(2x^2+9=0\)**।
(iv) \((x+2)^3=x(x^2-1)\) সমীকরণটিকে \(ax^2+bx+c=0, (a\ne 0)\) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং \(x^2, x\) ও \(x^0\) এর সহগ লিখি।
সমাধানঃ
\((x+2)^3=x(x^2-1)\)

বা, \(x^3+3\cdot x^2\cdot 2+3\cdot x\cdot 2^2+2^3=x^3-x\)

বা, \(x^3+6x^2+12x+8-x^3+x=0\)

বা, \(6x^2+13x+8=0\)
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে হবে **\(6x^2+13x+8=0\)**। ∴ \(x^2\) এর সহগ **6**, \(x\) এর সহগ **13** এবং \(x^0\) এর সহগ **8**।

5. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।

(i) 42-কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
সমাধানঃ ধরি, একটি অংশ \(x\) ∴ অপর অংশটি হল \(x^2\) শর্তানুসারে,
\(x^2+x=42\)

বা, \(x^2+x-42=0\)
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল **\(x^2+x-42=0\)**।
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143।
সমাধানঃ ধরি, দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা হল \((2x-1)\) এবং \((2x+1)\) শর্তানুসারে,
\((2x-1)\times(2x+1)=143\)

বা, \((2x)^2-1^2=143\)

বা, \(4x^2-1-143=0\)

বা, \(4x^2-144=0\)

বা, \(x^2-36=0\)
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল **\(x^2-36=0\)**।
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313।
সমাধানঃ ধরি, দুটি ক্রমিক সংখ্যা হল \(x\) এবং \(x+1\) শর্তানুসারে,
\(x^2+(x+1)^2=313\)

বা, \(x^2+x^2+2x+1-313=0\)

বা, \(2x^2+2x-312=0\)

বা, \(x^2+x-156=0\)
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল **\(x^2+x-156=0\)**।

6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।

(i) একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
সমাধানঃ ধরি, আয়তকার ক্ষেত্রের প্রস্থ \(=x\) মিটার ∴ আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য \(=(x+3)\) মিটার ∴ আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য \(= \sqrt{x^2+(x+3)^2}\) মিটার শর্তানুসারে,
\(\sqrt{x^2+(x+3)^2}=15\)

বা, \(x^2+(x+3)^2=15^2\)

বা, \(x^2+x^2+6x+9=225\)

বা, \(2x^2+6x+9-225=0\)

বা, \(2x^2+6x-216=0\)

বা, \(x^2+3x-108=0\)
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল **\(x^2+3x-108=0\)**।
(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কিগ্রা. চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা. প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো।
সমাধানঃ ধরি, তিনি 80 টাকায় \(x\) কিগ্রা. চিনি ক্রয় করেছিলেন। ∴ প্রতি কিগ্রা. চিনির মূল্য \(= \frac{80}{x}\) টাকা যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশী পেতেন, তাহলে প্রতি কিগ্রা চিনির মূল্য হতো \(= \frac{80}{x+4}\) টাকা শর্তানুসারে,
\(\frac{80}{x} - \frac{80}{x+4}=1\)

বা, \(\frac{80(x+4)-80x}{x(x+4)}=1\)

বা, \(\frac{80x+320-80x}{x^2+4x}=1\)

বা, \(x^2+4x=320\)

বা, \(x^2+4x-320=0\)
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল **\(x^2+4x-320=0\)**।
(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি.। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি. বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘন্টা কম সময় লাগত।
সমাধানঃ ধরি, ট্রেনটির গতিবেগ \(x\) কিমি/ঘন্টা 300 কিমি. যেতে ট্রেনটির সময় লাগে \(= \frac{300}{x}\) ঘন্টা ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি.বেশি হলে 300 কিমি. যেতে ট্রেনটির সময় লাগত \(= \frac{300}{x+5}\) ঘন্টা শর্তানুসারে,
\(\frac{300}{x}-\frac{300}{x+5}=2\)

বা, \(\frac{300(x+5)-300x}{x(x+5)}=2\)

বা, \(\frac{300x+1500-300x}{x^2+5x}=2\)

বা, \(1500=2(x^2+5x)\)

বা, \(2x^2+10x-1500=0\)

বা, \(x^2+5x-750=0\)
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল **\(x^2+5x-750=0\)**।
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হল।
সমাধানঃ ধরি, তিনি ঘড়িটি \(x\) টাকায় ক্রয় করেছিলেন ∴ তার লাভ হয় \(x\%\) ∴ ঘড়িটির বিক্রয়মূল্য \(= x + x \times \frac{x}{100} = x + \frac{x^2}{100}\) টাকা শর্তানুসারে,
\(x+\frac{x^2}{100}=336\)

বা, \(\frac{100x+x^2}{100}=336\)

বা, \(100x+x^2=33600\)

বা, \(x^2+100x-33600=0\)
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল **\(x^2+100x-33600=0\)**।
(v) স্রোতের বেগ ঘন্টায় 2 কিমি. হলে, রতমমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘন্টা সময় লাগে।
সমাধানঃ ধরি, স্থির জলে নৌকার গতিবেগ \(=x\) কিমি./ঘন্টা ∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার গতিবেগ \(=(x+2)\) কিমি./ঘন্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতিবেগ \(=(x-2)\) কিমি./ঘন্টা স্রোতের অনুকূলে নৌকাটি 21 কিমি যায় \(\frac{21}{x+2}\) ঘন্টায় এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকাটি 21 কিমি যায় \(\frac{21}{x-2}\) ঘন্টায় শর্তানুসারে,
\(\frac{21}{x+2}+\frac{21}{x-2}=10\)

বা, \(\frac{21(x-2)+21(x+2)}{(x+2)(x-2)}=10\)

বা, \(\frac{21x-42+21x+42}{x^2-4}=10\)

বা, \(42x=10(x^2-4)\)

বা, \(10x^2-42x-40=0\)

বা, \(5x^2-21x-20=0\)
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল **\(5x^2-21x-20=0\)**।
(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিস্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘন্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘন্টায় শেষ করতে পারে।
সমাধানঃ ধরি, মহিম কাজটি করে \(x\) ঘন্টায় ∴ মজিদ কাজটি করে \((x+3)\) ঘন্টায় মহিম 1 ঘন্টায় করে কাজটির \(\frac{1}{x}\) অংশ মজিদ 1 ঘন্টায় করে কাজটির \(\frac{1}{x+3}\) অংশ দুজনে একত্রে 1 ঘন্টায় করে \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}\) অংশ দুজনে একত্রে 2 ঘন্টায় করে \(2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}\right)\) অংশ শর্তানুসারে,
\(2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}\right)=1\)

বা, \(\frac{x+3+x}{x(x+3)}=\frac{1}{2}\)

বা, \(\frac{2x+3}{x^2+3x}=\frac{1}{2}\)

বা, \(x^2+3x=2(2x+3)\)

বা, \(x^2+3x-4x-6=0\)

বা, \(x^2-x-6=0\)
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল **\(x^2-x-6=0\)**।
(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
সমাধানঃ ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্কটি হল \(x\) ∴ একক স্থানীয় অঙ্কটি হবে \((x+6)\) ∴ সংখ্যাটি হল \(10\cdot x+(x+6)\) শর্তানুসারে,
\(10\cdot x+(x+6)-12=x(x+6)\)

বা, \(10x+x+6-12=x^2+6x\)

বা, \(11x-6=x^2+6x\)

বা, \(x^2+6x-11x+6=0\)

বা, \(x^2-5x+6=0\)
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল **\(x^2-5x+6=0\)**।
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গমিটার।
সমাধানঃ আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল \(= 45 \times 40 = 1800\) বর্গমিটার ধরি, রাস্তাটি \(x\) মিটার চওড়া। রাস্তাসহ আয়তকার মাঠের দৈর্ঘ্য \(= (45+2x)\) মিটার রাস্তাসহ আয়তকার মাঠের প্রস্থ \(= (40+2x)\) মিটার ∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল \(= \{(45+2x)\times(40+2x)-1800\}\) বর্গমিটার শর্তানুসারে,
বা, \(1800+90x+80x+4x^2-1800=450\)

বা, \(4x^2+170x-450=0\)

বা, \(2x^2+85x-225=0\)
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল **\(2x^2+85x-225=0\)**।